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Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung.

Beispiel

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$3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung.

Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$.

Dasselbe gilt natürlich auch, wenn man eine Verschiebung nur zu einem Teil durchführen will, z.B. $\frac{1}{2} \cdot\begin{pmatrix}2\\6\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\3\\2\end{pmatrix}$.

Merke

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Allgemein gilt: Ein Vektor $\vec{a}$ wird mit einer reellen Zahl r multipliziert, indem jeder Eintrag des Vektors mit r multipliziert wird.

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Vielfache eines Vektors

Genauer wird auf Vielfache von Vektoren noch einmal im folgenden Video eingegangen:

Video: Vielfache von Vektoren bilden

Methode

Hier klicken zum AusklappenPlaid Fresh Ink Ink Plaid WebstoffHimmelblau Fresh Plaid WebstoffHimmelblau rWExeCdoQBAnmerkungen:
  1. Eine Multiplikation mit -1 ergibt den Gegenvektor. Eine Multiplikation mit Null ergibt immer den Nullvektor.
  2. Anstatt Vielfaches (oder Anteil) einer Verschiebung kann man sich genauso einen um den Faktor r gestreckten (oder gestauchten) Vektor vorstellen.

Kollinearität

Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind, also gilt $\vec{a}=r\cdot\vec{b}$ mit $r\in\mathbb{R}$.
Bildlich gesprochen weisen die zugehörigen Pfeile in dieselbe Richtung. Überprüfen kann man Vektoren auf Kollinearität, indem man ihre Einträge einzeln miteinander vergleicht. Unterscheiden sich alle Koordinaten jeweils um denselben Faktor, so sind die Vektoren kollinear.

Multiple-Choice
Gegeben ist der Vektor $\vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix}$. Bestimme $\vec{b}=3 \cdot \vec{a}$.
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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